积分中值定理的底层推导：从几何直觉到严格证明

一、引言证明看到互联网上没有全面进行推导的证明过程接下来我从底层来推导这个公式。二、几何直觉从曲线面积说起我们以随便一个函数曲线为例但必须要连续用微分的方法这里的小矩形的面积它的面积 S 是不是大于 |X1-X2| · f(X1)小于 |X1-X2| · f(X2)答案是是的。即|X1-X2| · f(X1) S |X1-X2| · f(X2)很明显这里的曲线 f(X1) 是最小值f(X2) 是最大值这是特殊情况。即便放在一般情况下闭合的连续的曲线也一定有最大值和最小值吧是的一定有。三、核心思想引入中间值 f(c)那么我们能不能用一个数而这个数满足f(X1) 这个数 f(X2)且这个数 · |X1-X2| S不妨设这个数为 f(c)即f(c) · |X1-X2| S那么这个 f(c) 到底存不存在于这条连续的曲线上呢答案是存在的。这就是积分中值定理。四、补充积分中值定理的证明可跳过接下来是积分中值定理的证明不想了解底层的可以跳过直接记忆这个定理即可那么介值定理从哪里来呢接下来是介值定理的证明不想了解底层的可以跳过直接记忆这个定理即可可以看出这里的最底层原理用的是反证法这也是多数底层原理所用的方法比如两个直线不相交就是属于平行关系欧几里得几何。五、回到正题从极限视角理解由于 X1 与 c 与 X2 间隔太小了dx - 0所以可以理解为 f(c) 无限趋近于 f(X1) 和 f(X2)即 f(X1) f(c) f(X2)X1 c X2。到正题了看了其他博主给的解答他们都无缘无故设函数让人看着摸不着头脑。而我将一步一步引导你去思考。六、推导过程为什么用 F(x) 形式1.我们是为了证明这个为什么要用它的 F(x) 形式去计算。所以这个公式我们是没有这个结论去计算这个公式的没有公式就无从下手去计算它。怎么办呢我们可以用加减公式啊好了到这了其实这里的微积分有隐含特性什么特性呢这里的 X0 和 X0h 在区间范围内可取端点就是那么代入就证明出来了。七、实例化理解为了方便理解我把他们实例化一下证明完成。