悬臂梁数值仿真：Python手写差分实现挠度/弯矩/剪力全物理场求解

简介：本资源是一份面向高校学生、科研人员及工程技术人员的结构力学数值仿真教学材料，聚焦悬臂梁在集中力/均布载荷下的挠度、转角、弯矩与剪力分析，通过Python代码实现解析解与有限差分法求解，并配套可视化结果图，助力理解材料力学基本理论与工程响应之间的映射关系。资源为单文件docx文档（28KB），完整涵盖力学建模推导、核心算法说明、可运行代码段、参数调整建议及学习路径指引，适合作为结构力学课程拓展、科研入门案例或仿真建模基础训练素材。目前已有51人下载学习，文档内容精炼但信息密度高，含典型边界条件处理逻辑、物理量单位一致性说明及常见离散误差分析提示，便于读者复现计算流程、修改梁长/弹性模量/载荷等参数开展对比实验，快速构建个人力学仿真知识框架与代码实践能力。

1. 悬臂梁变形分析研究（Python代码实现）：不是画个挠度曲线就叫仿真，而是让每行代码都踩在材料力学的物理约束上

你有没有试过用 Python 画出一根悬臂梁的弯曲曲线，看着那条光滑的抛物线挺满意，结果导师扫一眼就问：“这个转角连续吗？剪力突变点在哪？弯矩图和挠度二阶导对得上吗？”——瞬间哑火。这不是代码没跑通，是模型没立住。这份“悬臂梁变形分析研究（Python代码实现）”资源，核心价值不在它用了 NumPy 还是 SciPy，而在于它把材料力学里那套刚体平衡 + 变形协调 + 物理本构的三重逻辑，严丝合缝地翻译成了可执行、可验证、可拆解的 Python 代码。它不依赖商业软件黑匣子，也不止于解析解抄公式；它用有限差分法离散控制微分方程，显式写出每个节点的平衡方程，再通过矩阵求解器反推位移场——这意味着你能随时插入 print 查看第 5 个节点的剪力值，能手动修改弹性模量 E 看弯矩图如何缩放，甚至能把集中载荷替换成分布载荷后，立刻验证积分边界是否自动修正。适合正在啃《材料力学》第四章却卡在“挠曲线近似微分方程怎么离散”的某高校结构方向研一学生，也适合需要给本科生做数值仿真演示、但苦于找不到轻量级可调试代码的某实验室导师。它不解决万吨级桥梁的非线性屈曲，但能让你亲手把课本上那个被反复引用的“自由端挠度 δ = PL³/3EI”从符号推导，变成内存里真实跳动的浮点数组。

2. 从控制方程到离散系统：为什么必须手写差分格式，而不是直接调 scipy.integrate.solve_bvp？

悬臂梁的变形本质是求解四阶常微分方程：
$$ EI \frac{d^4 w(x)}{dx^4} = q(x) $$
其中 $ w(x) $ 是挠度，$ q(x) $ 是横向分布载荷，$ EI $ 为抗弯刚度。但直接扔给solve_bvp虽快，却会丢失三个关键能力：物理量逐点可追溯性、边界条件显式嵌入可控性、以及后续扩展为变截面/非均质梁的接口开放性。本资源采用中心差分法将四阶导数离散化，构建一个 $ (n-2) \times n $ 的系数矩阵，再结合悬臂梁特有的边界条件（固定端 $ w=0, \theta=0 $；自由端 $ M=0, V=0 $）补全约束，最终形成满秩线性系统 $ \mathbf{K} \mathbf{w} = \mathbf{F} $。这才是工程仿真该有的样子：每行代码对应一个物理约束，每个矩阵元素可回溯到某个节点的力矩平衡。

2.1 控制方程的物理拆解与离散策略选择

我们不直接解四阶方程，而是降阶为两个二阶方程组：
$$ \begin{cases} \frac{d^2 w}{dx^2} = -\frac{M(x)}{EI} \ \frac{d^2 M}{dx^2} = q(x) \end{cases} $$
这样做的好处是：① 弯矩 $ M $ 成为中间变量，可独立输出并验证；② 边界条件自然分离——固定端强制 $ w_0 = 0 $, $ \theta_0 = w'0 = 0 $；自由端要求 $ M{n-1} = 0 $, $ V_{n-1} = M'{n-1} = 0 $。
离散时，对 $ w $ 和 $ M $ 同样采用 $ n $ 个等距节点（含两端），步长 $ h = L/(n-1) $。使用二阶精度中心差分：
$$ w''i \approx \frac{w{i-1} - 2w_i + w{i+1}}{h^2}, \quad M''i \approx \frac{M{i-1} - 2M_i + M_{i+1}}{h^2} $$
注意：i 的取值范围不是从 0 到 n−1 全覆盖。因差分需前后节点，$ w''_i $ 有效范围是 $ i = 1 $ 到 $ n-2 $；同理 $ M''_i $ 也是 $ i = 1 $ 到 $ n-2 $。这直接决定了后续矩阵维度。

2.2 构建全局刚度矩阵 K 与载荷向量 F：每一行都是一个物理方程

我们定义未知向量为 $ \mathbf{u} = [w_0, w_1, ..., w_{n-1}, M_0, M_1, ..., M_{n-1}]^T $，共 $ 2n $ 个自由度。但并非全部独立——边界条件将削减自由度。实际求解向量设为 $ \mathbf{w} = [w_1, ..., w_{n-2}, M_1, ..., M_{n-2}]^T $，共 $ 2(n-2) $ 个内部节点变量（固定端 $ w_0, w_1 $ 斜率由差分隐含；自由端 $ M_{n-1}, M_{n-2} $ 由边界强制为 0）。
下面这段代码就是构建 $ \mathbf{K} $ 的核心逻辑：

import numpy as np def build_system_matrix(n, h, E, I, q_func): """ 构建悬臂梁离散系统的刚度矩阵 K 和载荷向量 F n: 节点总数（含端点） h: 步长 E, I: 弹性模量与惯性矩（标量，假设均质等截面） q_func: 分布载荷函数，输入 x 返回 q(x) """ # 内部节点索引：w[1]~w[n-2], M[1]~M[n-2] → 共 2*(n-2) 个未知量 N = 2 * (n - 2) K = np.zeros((N, N)) F = np.zeros(N) # 预计算节点坐标 x = np.linspace(0, L, n) q_vals = np.array([q_func(xi) for xi in x]) # 循环遍历内部节点 i = 1 to n-2 for i in range(1, n-1): # 注意：此处 i 对应 w_i 和 M_i 的位置 idx_w = i - 1 # w_i 在 u 中的索引（0-based） idx_m = (n - 2) + i - 1 # M_i 在 u 中的索引 # 方程1: w''_i = -M_i/(E*I) → (w_{i-1} - 2w_i + w_{i+1})/h^2 + M_i/(E*I) = 0 if i - 1 >= 1: # w_{i-1} 存在（即 i-1 >= 1 → i >= 2） K[idx_w, idx_w - 1] += 1.0 / (h**2) K[idx_w, idx_w] += -2.0 / (h**2) if i + 1 <= n-2: # w_{i+1} 存在（即 i+1 <= n-2 → i <= n-3） K[idx_w, idx_w + 1] += 1.0 / (h**2) K[idx_w, idx_m] += 1.0 / (E * I) # 方程2: M''_i = q_i → (M_{i-1} - 2M_i + M_{i+1})/h^2 - q_i = 0 if i - 1 >= 1: K[idx_m, idx_m - 1] += 1.0 / (h**2) K[idx_m, idx_m] += -2.0 / (h**2) if i + 1 <= n-2: K[idx_m, idx_m + 1] += 1.0 / (h**2) F[idx_m] -= q_vals[i] return K, F

提示：这段代码里idx_w和idx_m的偏移计算极易出错。关键在于明确：w_0和w_{n-1}是已知边界（w_0=0,w_{n-1}自由），所以只对i=1..n-2的w_i建立方程；同理M_0和M_{n-1}由边界强制为 0，故只对i=1..n-2的M_i建立方程。idx_w = i-1是因为w_1对应索引 0，w_2对应 1……这是新手最容易翻车的第一道坎。

2.3 边界条件的显式嵌入：不是“忽略”，而是“强加”

上面的build_system_matrix只处理了内部节点的平衡，还没碰边界。悬臂梁有 4 个边界条件，必须转化为对K和F的修改：

实际编码中，我们不真去删行删列（易错），而是采用“主元置 1 法”：

# 假设已构建好初始 K_full 和 F_full（尺寸 2n × 2n） # 现在强加 w_1 = 0 和 M_{n-2} = 0（注意索引转换！） K_full[1, :] = 0.0 # w_1 对应第 1 行（0-based） K_full[1, 1] = 1.0 # 主元置 1 F_full[1] = 0.0 # 强制 w_1 = 0 M_idx = n + (n-2) - 1 # M_{n-2} 在全向量中的索引：前 n 个是 w，后 n 个是 M K_full[M_idx, :] = 0.0 K_full[M_idx, M_idx] = 1.0 F_full[M_idx] = 0.0

参数说明：这里n + (n-2) - 1的-1是 Python 0-based 索引的必然代价。若你用 MATLAB 思维写成n + (n-2)就会越界。我一般会在注释里写死例子：当n=5时，节点为w0,w1,w2,w3,w4和M0,M1,M2,M3,M4，则M_{n-2}=M_3，其索引为5+3=8（MATLAB），但 Python 是5+3-1=7。每次改节点数，我都手算一遍这个索引，宁慢勿错。

2.4 求解与物理量还原：从位移向量到弯矩图、剪力图、应力云图

解出w_internal和M_internal后，需还原完整场：

# 假设 sol = [w1, w2, ..., w_{n-2}, M1, M2, ..., M_{n-2}] w_full = np.zeros(n) w_full[0] = 0.0 w_full[1:n-1] = sol[0:n-2] # w1 ~ w_{n-2} w_full[n-1] = ? # 自由端挠度？不能外推！需用三次样条或由 M 积分得到 # 更稳健做法：由 M 积分两次得 w（满足所有边界） M_full = np.zeros(n) M_full[0] = 0.0 M_full[1:n-1] = sol[n-2:] # M1 ~ M_{n-2} M_full[n-1] = 0.0 # 用梯形积分法求转角 θ = -∫M/(EI) dx theta = np.zeros(n) for i in range(1, n): theta[i] = theta[i-1] - np.trapz(M_full[:i+1], x[:i+1]) / (E * I) # 再积分得 w w_recon = np.zeros(n) for i in range(1, n): w_recon[i] = w_recon[i-1] + np.trapz(theta[:i+1], x[:i+1])

逻辑说明：为什么不用w_full[n-1] = ...直接赋值？因为差分格式在边界处精度下降，自由端w_{n-1}若靠差分外推，误差会被放大。而由M→θ→w的积分路径，天然满足w_0=0, θ_0=0，且M_{n-1}=0已强加，因此w_recon全局更自洽。这也是本资源比单纯调solve_bvp更“工程”的地方——它把物理守恒嵌进求解流程，而非依赖算法黑箱。

3. 可视化不是点缀，而是验证：如何用 matplotlib 画出能过答辩的四张图

画图不是为了好看，是为了一眼揪出模型错误。一份合格的悬臂梁仿真可视化，必须包含四张图：挠度曲线、转角曲线、弯矩图、剪力图，并且它们之间必须满足微分关系：$ \theta = dw/dx $, $ M = -EI d^2w/dx^2 $, $ V = dM/dx $。如果np.gradient(w, x)和你画的theta对不上，说明差分格式或边界嵌入有 bug；如果np.gradient(M, x)和V偏离超过 1%，说明数值噪声过大或步长太粗。本资源的绘图脚本强制校验这些关系，并在图中标出关键点数值。

3.1 四图同框布局与物理量归一化处理

为避免量纲干扰判断，所有图纵轴均作无量纲化：

• 挠度 $ \bar{w} = w / (PL^3/EI) $（理论最大挠度）
• 转角 $ \bar{\theta} = \theta / (PL^2/EI) $
• 弯矩 $ \bar{M} = M / (PL) $
• 剪力 $ \bar{V} = V / P $

这样，集中载荷 $ P $ 作用于自由端时，理论解为：

• $ \bar{w}_{\text{max}} = 1.0 $（在 $ x=L $）
• $ \bar{M}_{\text{max}} = 1.0 $（在 $ x=0 $）
• $ \bar{V}_{\text{const}} = 1.0 $（全梁）

import matplotlib.pyplot as plt def plot_all_results(x, w, theta, M, V, P, L, E, I): # 无量纲化 w_bar = w / (P * L**3 / (E * I)) theta_bar = theta / (P * L**2 / (E * I)) M_bar = M / (P * L) V_bar = V / P fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10)) ax1, ax2, ax3, ax4 = axes.flatten() # 挠度图 ax1.plot(x/L, w_bar, 'b-', linewidth=2, label='Numerical') ax1.axhline(y=1.0, color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label='Analytical max') ax1.set_ylabel(r'$\bar{w} = w/(PL^3/EI)$') ax1.grid(True); ax1.legend(); ax1.set_title('Deflection') # 转角图 ax2.plot(x/L, theta_bar, 'g-', linewidth=2) ax2.set_ylabel(r'$\bar{\theta} = \theta/(PL^2/EI)$') ax2.grid(True); ax2.set_title('Rotation') # 弯矩图 ax3.plot(x/L, M_bar, 'm-', linewidth=2) ax3.axhline(y=1.0, color='r', linestyle='--', alpha=0.7) ax3.set_ylabel(r'$\bar{M} = M/(PL)$') ax3.grid(True); ax3.set_title('Bending Moment') # 剪力图 ax4.plot(x/L, V_bar, 'c-', linewidth=2) ax4.axhline(y=1.0, color='r', linestyle='--', alpha=0.7) ax4.set_ylabel(r'$\bar{V} = V/P$') ax4.grid(True); ax4.set_title('Shear Force') # 统一设置 x 轴 for ax in axes.flatten(): ax.set_xlabel(r'$x/L$') ax.set_xlim(0, 1) plt.tight_layout() plt.show()

参数说明：x/L是关键。所有横轴统一为相对坐标，这样不同长度梁的曲线才能横向对比；纵轴无量纲化后，理论值恒为 1 或 0，一眼可知仿真精度。我曾帮某同学调代码，他挠度图看着像回事，但w_bar最大值只有 0.85——一查发现他把I单位写成 mm⁴ 没换算成 m⁴，导致EI大了 10¹² 倍。这种错误，只有无量纲图才能秒杀。

3.2 关键点数值标注与误差热力图

除了曲线，必须在图上标出理论解与数值解的绝对误差：

# 计算理论解（集中载荷 P 在自由端） w_analytic = P * (L - x)**2 * (2*L + x) / (6 * E * I) # 挠度精确解 M_analytic = -P * (L - x) # 弯矩精确解 V_analytic = P # 剪力恒定 # 计算误差（绝对值） err_w = np.abs(w - w_analytic) err_M = np.abs(M - M_analytic) # 在挠度图上标出最大误差点 imax_w = np.argmax(err_w) ax1.plot(x[imax_w]/L, w_bar[imax_w], 'ro', markersize=8) ax1.text(x[imax_w]/L, w_bar[imax_w]+0.02, f'ε={err_w[imax_w]:.2e}', ha='center') # 绘制误差热力图（x vs 误差） fig_err, ax_err = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4)) im1 = ax_err[0].scatter(x/L, np.zeros_like(x), c=err_w, cmap='Reds', s=50) ax_err[0].set_xlabel(r'$x/L$'); ax_err[0].set_title('Deflection Error') plt.colorbar(im1, ax=ax_err[0]) im2 = ax_err[1].scatter(x/L, np.zeros_like(x), c=err_M, cmap='Blues', s=50) ax_err[1].set_xlabel(r'$x/L$'); ax_err[1].set_title('Moment Error') plt.colorbar(im2, ax=ax_err[1]) plt.show()

逻辑说明：热力图用scatter而非plot，是因为它能直观暴露误差集中区——比如若err_w在x=0.9L附近突然飙升，大概率是自由端差分外推失稳；若err_M在x=0附近高，说明固定端弯矩边界没嵌好。这种空间定位能力，是单纯看 RMSE 数值给不了的。

3.3 动态参数扫描：用交互式滑块验证“参数敏感性”

教学或答辩时，评委最爱问：“如果弹性模量减半，挠度怎么变？”——这时候手敲代码改参数再重跑太慢。本资源附带ipywidgets交互脚本，拖动滑块实时刷新四图：

import ipywidgets as widgets from IPython.display import display def interactive_plot(E_val, I_val, P_val, L_val): # 用新参数重建系统并求解 w, theta, M, V = solve_cantilever(L_val, E_val, I_val, P_val, n=51) plot_all_results(x, w, theta, M, V, P_val, L_val, E_val, I_val) # 创建滑块（对数尺度更合理，因 E 跨度大） E_slider = widgets.FloatLogSlider(value=2e11, base=10, min=9, max=12, step=0.1, description='E (Pa):', readout_format='.1e') I_slider = widgets.FloatLogSlider(value=1e-6, base=10, min=-8, max=-4, step=0.1, description='I (m⁴):', readout_format='.1e') P_slider = widgets.FloatSlider(value=1000, min=100, max=10000, step=100, description='P (N):') L_slider = widgets.FloatSlider(value=2.0, min=0.5, max=5.0, step=0.1, description='L (m):') ui = widgets.VBox([E_slider, I_slider, P_slider, L_slider]) out = widgets.interactive_output(interactive_plot, { 'E_val': E_slider, 'I_val': I_slider, 'P_val': P_slider, 'L_val': L_slider }) display(ui, out)

提示：FloatLogSlider是血泪经验。曾有学生用线性滑块调E，从 1e11 拖到 2e11，图像几乎不动；换成对数滑块后，拖动base=10的指数部分，变化立竿见影。这不仅是交互体验，更是帮人建立“数量级敏感性”的认知工具。

4. 避坑：五个让我重写三次矩阵组装的致命细节

别信“跑通就行”。悬臂梁仿真里藏着太多看似微小、实则让结果全盘作废的坑。以下是我用这份 Python 代码在某高校结构实验室支撑 7 个本科毕设、3 个研究生课题过程中，被反复暴击又亲手填平的 5 个真实坑点。每一条都附带复现方式和验证命令——你照着做，就能避开我踩过的所有雷。

4.1 现象：挠度曲线整体上翘，自由端位移为正（向上）

原因：弯矩符号约定错误。材料力学中规定“使梁下侧受拉为正弯矩”，而代码里写成w'' = +M/(EI)，导致符号反转。
解决：严格按教科书定义，w'' = -M/(EI)。验证方法：打印M[0]（固定端），应为负值（上侧受拉）；若为正，立刻检查差分方程第一项符号。

4.2 现象：弯矩图在自由端不为零，残差 > 1e-3

原因：自由端剪力边界V_{n-1}=0用后向差分M'_{n-1} ≈ (M_{n-1} - M_{n-2})/h = 0时，误将M_{n-1}设为 0，却忘了M_{n-2}也需同步约束。实际应写为：M_{n-1} = M_{n-2}，再结合M_{n-1}=0推出M_{n-2}=0。
解决：在构建K时，对M_{n-2}行，不只设主元为 1，还要确保其所在列其他元素为 0（即完全解除该自由度）。验证命令：print("M[-1], M[-2] =", M[-1], M[-2])，二者必须同时 ≈ 0。

4.3 现象：增加节点数 n 从 21 到 101，挠度最大值反而发散

原因：步长h = L/(n-1)代入差分公式时，漏除h²或h。例如写成w''_i = w_{i-1} - 2w_i + w_{i+1}（缺/h²），导致刚度矩阵随n增大而病态。
解决：所有差分项必须显式写出1/h²或1/h。验证方法：计算cond(K)，当n=21时应 < 1e6；若n=101时cond(K) > 1e12，必有漏除。

4.4 现象：施加均布载荷q(x)=q0后，剪力图不是线性下降，而是阶梯状跳跃

原因：载荷向量F未按节点位置插值，而是直接用q_vals[i]作为M''_i的右端项，忽略了分布载荷在单元内的等效节点力分配。均布载荷下，M''_i = q0是对的，但若用中心差分，M''_i应等于q在x_i处的值；而q是常数，没问题。真正问题是：剪力V应由M的差分得到，但M解出来后，V_i = (M_{i+1} - M_i)/h在i=n-2处越界。
解决：计算V时，只算到i=n-2，且用V_i = (M_i - M_{i-1})/h（后向差分）避免越界；自由端V_{n-1}单独由边界条件设为 0。验证：np.max(np.abs(np.gradient(M, x)[:-1] - V[:-1])) < 1e-10。

4.5 现象：更换为变截面梁（I(x)函数）后，程序报LinAlgError: Singular matrix

原因：I(x)在某节点为 0 或极小（如I(0)=1e-20），导致1/(E*I)溢出，K矩阵出现 Inf 或 NaN，SVD 分解失败。
解决：预处理I_vals，加入安全下限：I_vals = np.maximum(I_vals, 1e-12)。更优做法是用np.clip(I_vals, 1e-12, None)。验证：print("I_min =", np.min(I_vals))，确保 > 0。

注意：以上每条，我都存了对应的.py测试脚本，命名如test_bug_4.2_free_end_moment.py。从那以后，我每次新增功能，必先写一个test_开头的验证脚本，跑通才提交。希望帮到你。

5. 进阶实战：从单悬臂梁到多跨连续梁——只需改三处，代码复用率超 80%

单悬臂梁代码的价值，不在于它多完美，而在于它是一块可生长的骨架。很多用户拿到后问：“能不能算两跨梁？”“能不能加弹簧支座？”答案是肯定的，而且改动极小。本节以“两跨连续梁（左端固定、中支座铰接、右端自由）”为例，展示如何基于原代码升级，不重写核心求解器，只改三处关键逻辑——这正是工程代码该有的扩展性。

5.1 支座类型映射表：用字典替代硬编码边界条件

原代码把悬臂梁边界写死在build_system_matrix里。进阶版先定义支座类型枚举：

SUPPORT_TYPES = { 'fixed': {'w': 0.0, 'theta': 0.0, 'M': None, 'V': None}, 'pinned': {'w': 0.0, 'theta': None, 'M': 0.0, 'V': None}, 'roller': {'w': 0.0, 'theta': None, 'M': 0.0, 'V': None}, 'free': {'w': None, 'theta': None, 'M': 0.0, 'V': 0.0} } # 输入支座配置：列表，每个元素为 (x_pos, support_type) supports = [(0.0, 'fixed'), (L1, 'pinned'), (L1+L2, 'free')]

5.2 三处必改代码：从“单梁专用”到“通用梁求解器”

✅ 修改 1：节点生成逻辑支持多段不等长

原代码x = np.linspace(0, L, n)强制等距。新代码按支座位置分段剖分：

def generate_mesh(supports, n_per_span=20): """根据支座位置生成分段节点""" x_list = [] for i in range(len(supports)-1): x_start = supports[i][0] x_end = supports[i+1][0] x_seg = np.linspace(x_start, x_end, n_per_span+1) if i == 0: x_list.extend(x_seg) else: x_list.extend(x_seg[1:]) # 去掉重复起点 return np.array(x_list)

✅ 修改 2：边界条件嵌入从“写死”改为“查表驱动”

原代码手动设w_0=0, M_{n-1}=0。新代码遍历supports，对每个支座位置x_j，找到最近节点k，然后根据SUPPORT_TYPES[type]设置对应方程：

for x_pos, sup_type in supports: k = np.argmin(np.abs(x - x_pos)) # 找最近节点索引 props = SUPPORT_TYPES[sup_type] if props['w'] is not None: # 强制 w_k = props['w'] K_full[k, :] = 0.0; K_full[k, k] = 1.0; F_full[k] = props['w'] if props['M'] is not None: M_idx = n + k # M_k 在全向量中的索引 K_full[M_idx, :] = 0.0; K_full[M_idx, M_idx] = 1.0; F_full[M_idx] = props['M']

✅ 修改 3：载荷函数支持分段定义

原代码q_func是全局函数。新代码用Piecewise或np.piecewise：

def q_piecewise(x): return np.piecewise(x, [x < L1, (x >= L1) & (x < L1+L2)], [lambda x: 0.0, lambda x: q0] # 第一跨无载，第二跨均布 q0 )

5.3 验证：两跨梁的弯矩图必须在中支座处为零

运行升级后代码，重点验证中支座（x=L1）处的弯矩值：

# 假设 supports = [(0,'fixed'), (3.0,'pinned'), (6.0,'free')]，L1=3.0 k_mid = np.argmin(np.abs(x - 3.0)) print(f"M at mid-support (x=3.0): {M[k_mid]:.2e}") # 必须 ≈ 0

若输出M at mid-support (x=3.0): 1.23e-15，说明铰支座约束成功；若为1.23e-2，说明节点未精准落在x=3.0，需调整generate_mesh的容差或增加局部加密。

参数说明：n_per_span=20是经验值。对两跨梁，总节点数约 40–60 即可保证精度；若跨数增至 5，建议n_per_span=10并启用自

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