MATLAB信号与系统实验：从时域波形到频域与零极点分析

简介：这份《信号与系统》实验报告面向广东工业大学信息工程学院电子信息类学生及正在学习信号与系统课程的学习者，可用于课程实验对照、MATLAB仿真练习与实验报告整理参考。文档围绕连续与离散时间信号处理展开，覆盖基本信号生成、卷积运算、连续与离散LTI系统时域分析，以及周期信号傅里叶级数、傅里叶变换、系统频率特性、拉普拉斯变换等实验模块，并配有实验目的、实验内容、MATLAB代码和结果图，便于理解理论计算与仿真验证之间的对应关系。资源包为1个docx文件，约1.68MB，篇幅较完整，目录按实验与章节组织，检索方便；目前已有1257人学习。对需要复盘实验流程、补充代码实现或核对波形结果的学生而言，具有较高的课程参考价值。

1. 信号与系统实验：一张从 MATLAB 波形到频域分析的知识地图

《信号与系统》这门课最劝退的地方，是纸上的公式和屏幕上的波形对不上号。实验报告真正有价值的部分，不是那些已经跑通的代码，而是把「连续与离散、时域与频域、变换与系统」串成一条能自洽的线。这份报告按实验一至实验四推进，覆盖连续时间信号的 MATLAB 表示与时移反褶尺度变换、连续卷积与连续 LTI 时域分析、周期信号傅里叶级数与傅里叶变换性质、连续系统的频率特性、拉普拉斯变换与零极点分析，一直到离散时间信号的表示运算、离散 LTI 时域分析和 Z 域分析。梳理下来会发现，整份报告其实只回答一个问题：给定一个信号或一个系统，怎么在 MATLAB 里把它「看得见」，再用变换把它「算得动」。适合正在做实验、准备实验考试，或者期末想把整门课重新捋一遍的人。

2. 连续时间信号：表示、运算与波形绘制

这一部分是整份报告的基础，实验一和实验二的大部分内容都在这里。很多人以为它简单，无非是plot一条曲线，但真正卡住人的恰恰是这里：信号写对了、代码没错，画出来的波形却是错的，或者形状对、坐标范围不对，或者坐标对、物理含义又说不清。下面按「信号怎么在 MATLAB 里落地」和「运算怎么不出错」两条线梳理。

2.1 基本信号的 MATLAB 表达方式

连续时间信号在 MATLAB 里没有真正的「连续」，靠的是足够密的采样点向量加逐点运算。所以每一个信号的画法，本质是三件事：定义时间向量、写出幅度表达式、用点运算保证逐元素计算。

报告里 2.3.1 的四道小题正好把这四种类型都覆盖了。第一题的代码t = -pi/12:0.01:2*pi; y = 2*cos(3*t+pi/4); plot(t,y); grid on; axis([-pi/12,2*pi,-2.2,2.2])是标准的正弦画法，注意axis里纵轴给了 ±2.2，比振幅 2 略宽，这是为了让波形不贴边。这个习惯值得保留：axis的范围永远比理论幅值留一点余量，否则曲线会顶在边框上，看不出峰值。

第三题和第四题都用到(t>=0)-(t>=1)这种写法构造矩形窗。这里的关键是：MATLAB 里t>=0返回的是逻辑数组，两个逻辑数组相减得到的是 double 型的 0/1，可以直接和信号相乘。这是本报告最值得记住的一个技巧，比调用heaviside更可控，因为可以任意指定窗口起止点。很多人翻车在于写成t>=0 & t<=1，结果得到逻辑值参与运算后维度或类型出问题；减法写法在数值上等价，但更稳。

复信号那部分（2.3.2）用的是subplot(2,2,n)四联图，分别画real(y)、imag(y)、abs(y)、angle(y)。这里有个容易被忽略的细节：角度用angle返回的是弧度，范围在 [−π, π]，画出来会有跳变，报告里给axis([-5,10,-1,1])的纵轴范围其实是把这个跳变压掉了。如果要做严谨的相位分析，应该用unwrap展开相位，否则看到的锯齿是数学上的主值折叠，不是信号本身的特性。

周期矩形脉冲用的是square(2*pi*t,50)，第二个参数 50 是占空比百分数，对应 0.5 的占空比。这里有个陷阱：square的周期由第一个参数里的系数决定，2*pi*t对应周期 1，如果把系数写成t，周期就变成 2π，画出来完全对不上题目要求的「周期为 1」。

2.2 时移、反褶、尺度变换的复合顺序

实验二的 3.3.2 是整份报告里最容易出错的一组题：给一个分段函数functl，要求画f(t−1)、f(2−t)、f(2t+1)、f(4−t/2)、[f(t)+f(−t)]u(t)。表面上是五个画图题，实质是在考「变换顺序」这件事。

报告的functl.m写法是把分段函数写成若干「斜线 × 窗口」的叠加：

function f = functl(t) % 分段线性信号：用 窗口相减 构造每段的支撑区间 f = (t+1).*((t>=-2)-(t>=-1)) ... % 第一段：斜率 1，区间 [-2,-1) + 1 .*((t>=-1)-(t>=0)) ... % 第二段：常值 1，区间 [-1,0) + 2 .*((t>=0)-(t>=1)) ... % 第三段：常值 2，区间 [0,1) + (-t+2).*((t>=1)-(t>=2)); % 第四段：斜率 -1，区间 [1,2] end

这个写法的好处是：函数体只依赖t，不依赖全局变量，所以可以直接把变换后的自变量喂进去，functl(t-1)就是右移，functl(2-t)就是先反褶再移位，functl(2*t+1)就是先压缩再左移。

这里必须强调一条血泪经验：复合变换不要试图在函数外面手动改时间轴，一律把变换写进函数调用里。因为f(2−t)这种形式，如果先反褶再移位和先移位再反褶，得到的中间结果完全不同，手算很容易搞反。把2-t整体交给函数，让t向量去扫，波形自然就对了。报告里 3.3.2 的几道题全部采用这个套路，y = functl(2-t)一行解决，这是最不容易翻车的写法。

第五小题[f(t)+f(−t)]u(t)是求偶部再截半边，报告写作[functl(t)+functl(-t)].*(t>=0)。注意这里是先加后乘窗，顺序不能反，先乘窗再加会导致f(−t)在 t<0 部分被错误截断。

2.3 奇偶分解与 fliplr 的适用边界

3.3.3 要求画信号的偶分量和奇分量，报告用了fliplr：

t = -3:0.01:3; y = (t>=0).*(t<=2).*(1-t); % 只在 [0,2] 有值的信号 y1 = fliplr(y); % 时间反转 ye = (y + y1)/2; % 偶分量 yo = (y - y1)/2; % 奇分量

fliplr是左右翻转数组，在时间轴关于原点对称的前提下，它等价于f(−t)。这里的隐含条件是t从 −3 到 3 且步长均匀，翻转后索引对应关系才成立。如果时间向量不对称（比如 −0.2 到 1.2），fliplr得到的结果就不是f(−t)，而是关于数组中心的镜像，画出来的偶分量会整体偏移。

所以用fliplr做反褶，前提必须自己检查一遍：t(1) == -t(end)是否成立，步长是否一致。不成立就老老实实写functl(-t)那种形式。这个细节报告里没写，但它是这批题里最容易踩的坑，因为代码跑起来不报错，图看上去也「像那么回事」。

还有一点：奇分量yo的理论值应该满足yo(0)=0（如果原点在采样点上），画完图可以用这个性质自查。偶分量在原点处等于原信号值。这种「用性质反查图对不对」的习惯，比盯着波形看好用得多。

3. 卷积与连续 LTI 系统：时域分析的三个层次

卷积是《信号与系统》的第一个分水岭。实验二的第四章「连续时间信号的卷积运算」和第五章「连续时间 LTI 系统的时域分析」看上去是两块内容，实际上是一条链：卷积是工具，LTI 是对象，冲激响应是桥梁。这一章按「卷积怎么算对」「系统响应怎么解释」「零极点怎么读」三层来梳理。

3.1 连续卷积的数值实现与离散化误差

连续卷积在 MATLAB 里只能用离散求和近似：

% 数值卷积：y(t) = x(t) * h(t) dt = 0.01; % 采样间隔，决定精度 t = -2:dt:4; x = (t>=0) - (t>=1); % 输入：单位矩形脉冲 h = exp(-t).*(t>=0); % 系统冲激响应 y = conv(x, h) * dt; % 乘 dt 还原连续卷积的量纲 ty = (0:length(y)-1)*dt + t(1) + t(1); % 卷积结果的时间轴 plot(ty, y);

这段代码有三个必须讲清的点。

第一，conv算的是离散求和，sum x[k]h[n−k]，而连续卷积是积分∫x(τ)h(t−τ)dτ。二者差一个dt因子，所以必须乘dt才能对上理论幅值。这是最常见的翻车点：不乘dt，波形形状对、幅值差 100 倍，然后怀疑自己公式记错了。

第二，卷积结果的长度是length(x)+length(h)-1，时间轴不能沿用t，必须重建。上面用(0:length(y)-1)*dt + t(1) + t(1)是把起点对齐到两个信号起点之和。更稳妥的写法是先算t_start = t(1)+t(1)，再线性展开，避免t本身不对称时算错。

第三，dt的选择直接决定精度。dt=0.01时误差在百分之一量级，用来画图足够；如果要和解析结果对比数值，dt要降到 0.001 甚至更小。但dt太小会让conv的计算量按平方增长，报告里的题目用 0.01 是合理的工程折中。

3.2 LTI 系统的时域响应与卷积的物理含义

LTI 系统的时域分析核心就是一句话：系统对任意输入的响应，等于输入与冲激响应的卷积。这句话在纸上是公式，在实验里要能「看出来」。

卷积的图解法四个步骤——反褶、平移、相乘、积分——在 MATLAB 里对应的是「翻转h、逐点滑动、点乘求和」。理解这一步之后，很多性质就不用背了：

• 卷积的交换律对应「输入和系统角色可以互换」，所以conv(x,h)和conv(h,x)结果一样；
• 卷积与冲激函数卷积等于原信号，对应系统是「直通」；
• 卷积与阶跃函数卷积等于积分，对应系统的冲激响应是阶跃时，输出是输入的累积。

报告里连续 LTI 时域分析部分要求设计不同输入、计算卷积响应并画图验证，本质上是在做「公式 → 波形 → 物理解释」的三重对照。这里容易忽略的是卷积结果的支撑区间：如果x在 [0,1] 非零、h在 [0,2] 非零，那么卷积结果只可能在 [0,3] 非零，图上一看超出这个范围还有值，就说明时间轴算错了。这个检查比核对幅值更快。

3.3 从时域到 s 域：零极点如何决定系统行为

实验四的第十一章「连续时间 LTI 系统的零极点分析」是整份报告里信息密度最高的一节。拉普拉斯变换把微分方程变成代数方程，系统函数H(s)的零极点位置直接决定了时域波形长什么样。

这张表的用法是反查：给出一个H(s)，先因式分解找极点，落在哪个区域就对应哪种波形，不用解微分方程。实验里画零极点图用的是pzmap或者手动plot(real(p), imag(p), 'x')，配合impulse或step看时域响应，两边一对照，稳定性判断就不靠死记了。

提示：判断稳定性只看极点，不看零点。零点影响的是响应的幅度和相位分布，不改变收敛性。这是考试里最爱设的陷阱之一。

零极点分析还有一个常被忽略的用途：部分分式展开的验证。residue函数给出的留数对应时域各项的系数，极点对应指数项的频率，把residue的结果和pzmap的图对照，能快速确认展开有没有算错。报告里没展开讲这部分，但它是把 s 域和时域连起来的关键一环。

4. 频域分析：傅里叶级数、傅里叶变换与系统频率特性

从时域转到频域，是这门课第二次认知跳跃。实验三的第六、七、八章依次是周期信号的傅里叶级数及频谱、傅里叶变换及其性质、连续 LTI 系统的频率特性。三章的顺序不是随意的：级数处理周期信号，变换推广到非周期，频率特性则是把变换用到系统上。这一章按这条线梳理，重点是「谱长什么样」和「性质怎么用」。

4.1 周期信号的频谱：离散谱的三条规律

周期信号的傅里叶级数展开后，频谱是离散的谱线，谱线间隔等于基频ω0 = 2π/T。实验里画频谱通常用stem而不是plot，因为离散谱线用连续曲线画会产生误导。

T = 1; % 周期 t = -2:0.001:2; x = square(2*pi*t/T, 50); % 占空比 50% 的矩形波 N = 20; % 取前 20 次谐波 n = -N:N; cn = zeros(size(n)); for k = 1:length(n) cn(k) = trapz(t, x.*exp(-1j*n(k)*2*pi/T*t))/T; % 数值求系数 end stem(n*2*pi/T, abs(cn)); % 幅度谱：横轴是角频率 xlabel('角频率'); ylabel('|cn|');

这段代码的关键是trapz做数值积分，/T归一化。实际手算时更常用闭式表达式，但数值法能验证闭式推导对不对。

周期信号频谱有三条规律值得记牢：谱线只出现在基频整数倍处；幅度谱是偶对称、相位谱是奇对称（实信号）；周期越大，谱线越密、包络不变。第三条是理解「周期信号取极限变非周期信号、离散谱变连续谱」的钥匙，也是傅里叶变换的直观来源。

4.2 傅里叶变换性质：把难算的题变成查表题

傅里叶变换的性质（线性、时移、频移、尺度、卷积、微分、对称）看起来是七条并列的公式，其实是一套「化简工具」。实验七要求验证这些性质，最有价值的做法不是逐条背，而是拿一个算起来麻烦的信号，用性质把它拆成几个已知变换的信号的组合。

这张表里最容易忽略的是尺度性质里的1/|a|。a为负时既有幅度的缩放又有反褶，符号处理错一步结果就全错。另外时移和频移的对称性值得专门对照记一遍：时域移位对应频域乘相位，频域移位对应时域乘复指数，两者形式对称但作用域不同，考前花五分钟画个对照能省掉考场上的犹豫。

卷积定理是这一节的枢纽。它把时域里最麻烦的卷积积分变成频域里的乘法，同时解释了为什么 LTI 系统可以用「输入频谱 × 频率响应」直接算输出频谱。这条链打通之后，第 3 章的时域卷积和第 4 章的频域相乘就是同一件事的两种语言。

4.3 频率特性：从 H(jω) 读出系统的滤波行为

实验八的「连续 LTI 系统的频率特性及频域分析」把前面所有工具汇到一起。系统函数H(jω)的幅频特性决定哪些频率能通过、哪些被压制，相频特性决定各频率分量的延迟。

% 一阶低通系统的频率特性 w = logspace(-1, 3, 500); % 对数频率轴，覆盖三个数量级 H = 1 ./ (1 + 1j*w/100); % 截止角频率 100 rad/s 的一阶低通 subplot(2,1,1); semilogx(w, 20*log10(abs(H))); % 幅频特性用 dB grid on; ylabel('幅度 (dB)'); subplot(2,1,2); semilogx(w, angle(H)*180/pi); % 相频特性用度 grid on; ylabel('相位 (度)'); xlabel('角频率 (rad/s)');

这段代码有两处工程习惯值得学：频率轴用logspace而不是线性向量，因为频域分析关心的是数量级跨度；幅度用20*log10转 dB，因为 dB 下幅频曲线的渐近线是直线，斜率一眼能读出来。一阶低通在截止频率处幅度下降 3 dB、相位滞后 45 度，这两个数字是判断滤波器阶数和类型的基准点。

频率特性这一节的重点不是会画图，而是会从图上读系统：通带宽度、过渡带陡峭程度、阻带衰减量、相位是否线性。线性相位意味着所有频率延迟相同，波形不失真，这是通信系统里比幅频更硬的指标。报告里没强调这一点，但它是频域分析从「会算」到「会用」的分界。

5. 离散时间信号与 Z 域分析：从采样到系统函数

实验二的第十二、十三章和实验四的第十四章构成第三大块：离散时间信号的表示及运算、离散 LTI 系统的时域分析、Z 变换及 Z 域分析。这部分和连续部分结构高度平行，但有两个连续部分没有的坑：采样带来的频谱搬移，以及 Z 变换收敛域对结果的影响。

5.1 离散信号的表示与序列运算

离散信号在 MATLAB 里是向量，时间轴通常是整数索引向量。和连续信号最大的区别是：离散信号的「时间」必须显式给出，不能靠采样间隔隐含。

n = -5:10; % 离散时间索引，必须显式 x = (n>=0) - (n>=3); % 长度 3 的单位矩形序列 stem(n, x, 'filled'); % 离散序列用 stem，不用 plot axis([-5, 10, -0.2, 1.2]);

stem和plot的区别不是审美问题：离散信号的谱线、序列值都只在整数点有定义，用plot连线会让人误以为中间有值。这个习惯在做离散卷积和 Z 变换的零极点图时同样适用。

序列的基本运算和连续信号一一对应：移位x(n−n0)对应索引平移、反褶x(−n)对应fliplr、相加相乘是逐元素。但离散序列多了一个连续信号没有的操作：抽取与插值（下采样和上采样），它对应采样率变换，也是理解采样定理的实操入口。

5.2 离散卷积与差分方程

离散卷积是求和而非积分，conv直接可用，不需要乘dt：

n = 0:20; x = (n>=0) - (n>=5); % 输入：长度 5 的矩形序列 h = 0.8.^n; % 系统冲激响应：指数衰减 y = conv(x, h); % 离散卷积，无需缩放因子 ny = 0:(length(y)-1); % 卷积结果索引从 0 开始 stem(ny, y, 'filled');

注意ny的起点：如果x从 0 开始、h从 0 开始，卷积结果从 0 开始，长度是length(x)+length(h)-1。这和连续卷积的时间轴重建是同一个道理，只是离散情况下没有dt因子来干扰。

离散 LTI 系统的另一种描述是差分方程，y(n) = Σa_k y(n−k) + Σb_m x(n−m)。它和连续系统的微分方程对应，但求解时可以用递推，比连续系统的微分方程求解更「可编程」。实验里常用filter(b, a, x)直接算响应，b是输入侧系数、a是输出侧系数，符号顺序别搞反。

5.3 Z 变换与收敛域：最容易被忽略的一半答案

Z 变换X(z) = Σx(n)z^(−n)在形式上就是离散信号的幂级数。实验里用ztrans做符号计算，或者用residue/tf2zp做有理函数分解。

这里必须点出一个最容易被忽略的点：Z 变换的答案必须带收敛域（ROC）。同一个代数表达式1/(1−az^(−1))，ROC 是|z|>|a|时对应右边序列a^n u(n)，ROC 是|z|<|a|时对应左边序列−a^n u(−n−1)。少了 ROC，答案不唯一。

离散系统的稳定性判据是「单位圆在 ROC 内」，等价于「所有极点在单位圆内」。这和连续系统「虚轴在 ROC 内、极点全在左半平面」完全平行。把这两张判据表并排放着记，比分开背省一半力气。

零极点图在离散情况下还有个额外信息：单位圆。画zplane(b, a)会自动画出单位圆，极点落在圆内还是圆外，一眼可判。报告第十四章的 Z 域分析题，画完零极点图再看一眼单位圆，比算半天收敛域快得多。

6. 查漏补缺：一份能直接跑一遍的复习清单

把整份报告走完，真正拉开差距的不是记住多少公式，而是有没有一套「自查机制」。下面这份清单是我在复盘时固定走的流程，从代码层到概念层，每一步都能独立验证。第 1 章那个「波形对不上」的问题，绝大多数都能在这里被拦下来。

6.1 代码层的三查

第一查采样间隔与时间范围。连续信号画图前先问：t的范围够不够覆盖信号的非零区间？dt够不够密？正弦信号一个周期至少取 20 个点，否则波形会出现明显的折线感。报告里 2.3.1 用 0.01 的步长、范围取到2*pi，属于保守但不浪费的设置。

第二查点运算。凡涉及两个向量相乘、相除、乘方，一律先想需不需要.。信号与系统的表达式几乎全是逐元素运算，漏点乘是最高频的报错来源，而且报错信息往往指向不明确的行。

第三查卷积的时间轴和量纲。连续卷积乘dt，离散卷积不乘；结果长度是两者之和减一；起点是两者起点之和。这三条每次都在纸上写一遍再敲代码，比事后调图快。

6.2 概念层的四个自问

• 这个变换的收敛域是什么？没写 ROC 的 Z 变换、没写收敛条件的拉普拉斯变换，答案都是不完整的。
• 这个系统的稳定性看哪里？连续看左半平面，离散看单位圆内；只看极点，不看零点。
• 时域和频域是不是对得上？时域卷积对应频域相乘，时域相乘对应频域卷积，两边的「难度」是互补的，哪边好算走哪边。
• 图的物理含义说得出来吗？每画完一张图，用一句话解释它表示什么，说不出来就说明这一步只是「跑通了」而没有「理解」。

6.3 一份 30 分钟能跑完的自测脚本

把下面这段贴进 MATLAB 跑一遍，能同时验证复数运算、卷积量纲、离散索引和零极点判断四件事：

% 自测：连续卷积量纲 + 离散系统稳定性 dt = 0.01; t = 0:dt:5; x = (t>=0) - (t>=1); % 矩形脉冲 h = exp(-2*t).*(t>=0); % 一阶系统冲激响应 y = conv(x, h) * dt; % 连续卷积，必须乘 dt assert(abs(max(y) - (1-exp(-2))/2) < 0.05, '卷积幅值异常'); % 理论峰值校验 b = [1]; a = [1, -0.5]; % 离散系统：极点 z = 0.5 p = roots(a); assert(all(abs(p) < 1), '系统不稳定'); % 单位圆判据 disp('自测通过：量纲与稳定性均正确');

前两句assert是最有价值的部分：第一句把卷积峰值和解析值(1−e^(−2))/2对比，容差给 0.05，能抓出「忘乘 dt」这类错误；第二句用abs(p)<1复核稳定性，把「单位圆内」这个判据变成可执行代码。这种把概念写成断言的习惯，我从做这份实验报告开始一直保留到现在，因为图可以骗眼睛，断言不会。

6.4 复习顺序建议

如果时间紧，按「连续信号表示 → 卷积 → 傅里叶变换性质 → 拉普拉斯零极点 → 离散信号与 Z 变换」这条线走，每一段只做两件事：手画一张波形对理论、跑一段代码对量纲。频域性质那张表和零极点判据表必须能默写，其余内容靠这两张表反推。

最容易忽略的永远是收敛域和量纲这两件事——它们不体现在波形形状上，所以看图看不出来，但考试和实际计算里错一次就全错。从那以后我每次写完变换结果，都强制走一遍「ROC 写了吗、dt 乘了吗、时间轴对了吗」这三问，比反复检查公式本身有效得多。希望帮到你。

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