题目实数域上与给定矩阵合同的矩阵判定
题目：实数域上与给定矩阵合同的矩阵判定
设
A=(1221) A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}A=(1221)
则在实数域上与AAA合同的矩阵为（ ）
(A)(−211−2)\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}(−211−2)
(B)(2−1−12)\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}(2−1−12)
©(2112)\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}(2112)
(D)(1−2−21)\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -2 & 1\end{pmatrix}(1−2−21)
前置知识点
结论1：实对称矩阵，实数域合同充要条件：正惯性指数、负惯性指数分别相等（正负特征值个数一样）。
结论2：二阶实对称矩阵，不用求全部特征值，直接算行列式+迹快速判断正负特征值数量：
- 迹tr=λ1+λ2\mathrm{tr}= \lambda_1+\lambda_2tr=λ1+λ2（主对角线之和）
- 行列式∣A∣=λ1λ2|A|=\lambda_1\lambda_2∣A∣=λ1λ2
如果行列式<0<0<0：两个特征值一正一负，正惯性指数p=1p=1p=1，负惯性指数q=1q=1q=1。
惯性定理：实对称矩阵合同⟺ \iff⟺正负惯性指数完全相同。
步骤1：计算矩阵A的迹、行列式
A=(1221) A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 1\end{pmatrix}A=(1221)
迹：tr(A)=1+1=2\mathrm{tr}(A)=1+1=2tr(A)=1+1=2
行列式：∣A∣=1×1−2×2=1−4=−3<0|A|=1\times 1 - 2\times 2 = 1-4=-3<0∣A∣=1×1−2×2=1−4=−3<0
λ1+λ2=2, λ1λ2=−3\lambda_1+\lambda_2=2,\ \lambda_1\lambda_2=-3λ1+λ2=2,λ1λ2=−3
说明：一个正特征值，一个负特征值，p=1,q=1p=1,q=1p=1,q=1。
我们要找选项里面，同样满足：行列式<0<0<0的矩阵。
步骤2：逐个算选项行列式
(A)(−211−2), ∣AA∣=4−1=3>0\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix},\ |A_A|=4-1=3>0(−211−2),∣AA∣=4−1=3>0，两正或者两负，排除
(B)(2−1−12), ∣AB∣=4−1=3>0\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix},\ |A_B|=4-1=3>0(2−1−12),∣AB∣=4−1=3>0，排除
©(2112), ∣AC∣=4−1=3>0\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix},\ |A_C|=4-1=3>0(2112),∣AC∣=4−1=3>0，排除
(D)(1−2−21), ∣AD∣=1−4=−3<0\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -2 & 1\end{pmatrix},\ |A_D|=1-4=-3<0(1−2−21),∣AD∣=1−4=−3<0，一正一负，p=1,q=1p=1,q=1p=1,q=1
✅ 答案：D
补充验证（可选）
D矩阵：(1−2−21)\begin{pmatrix}1 & -2 \\-2 & 1\end{pmatrix}(1−2−21)，迹也是222，行列式−3-3−3，特征值分布和A完全一样，惯性指数一致，实数域合同。
总结速记
结论1：实数域，实对称矩阵合同看惯性指数；
结论2：二阶矩阵最简单判别法：算行列式，∣M∣<0|M|<0∣M∣<0等价于一正一负；
结论3：相似一定合同，合同不一定相似；本题只要求合同，不需要特征值相等，只需要正负个数相同。
易错提醒
- 不要把合同和相似搞混！相似要求特征值完全相等，合同只要求正负数量一样；
- 只有实对称矩阵才用这个惯性指数判定；非对称矩阵不能这么判断；
- 主对角线数字调换、交叉项符号改变，只要行列式符号不变，惯性指数可以不变。